CICLO TRIGONOMÉTRICO

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Chamamos de ciclo trigonométrico toda circunferência orientada, em que:

• o centro é a origem do plano cartesiano;
• o raio (r) é unitário (r = 1);
• o sentido positivo é o anti-horário;

Localização da extremidade de um arco no ciclo trigonométrico

Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual contido em um quadrante.

Obs.: O ângulo x pertence ao 1º quadrante se, e somente se, 0° < x < 90°

         O ângulo x pertence ao 2° quadrante se, e somente se, 90° < x < 180°

         O ângulo x pertence ao 3° quadrante se, e somente se, 180° < x < 270°

         O ângulo x pertence ao 4° quadrante se, e somente se, 270° < x < 360°

Obs ².: Mas o ângulo pode ser maior que 360°. Nesse caso, como descobrir em qual quadrante ele está?

ex.: Um arco de 480° tem mais que uma volta, pois 480° > 360°. Vamos, então, calcular quantos graus ele tem a menos que 360°.

480° - 360° = 120°

Como 90° < 120° < 180°, um arco de 480° tem a mesma extremidade de um arco de 120°, que pertence ao 2° quadrante.

Outra forma mais simples de obtermos esse resultado é dividir 480° por 360° para extrair o número de voltas. O resto da divisão é a medida do arco de mesma extremidade:

480 : 360 = 1 -> 1 . 360 = 360 -> 480 - 360 = 120

ex².: Vamos determinar em qual quadrante está o arco de 1280°.

1280 : 360 = 3 e o resto é 200

Foram dadas 3 voltas e sobraram 200°. Como 180° < 200° < 270°. Logo, 1280° pertence ao 3º quadrante.

Arcos côngruos

Dois arcos são congruentes ou côngruos, quando possuem a mesma extremidade. Deve-se levar como padrão, os arcos do 1° quadrante.

Ex.: 120° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 120° pertence ao 2° quadrante ( 90° < 120° < 180°), então usa-se a expressão 180° - 120° = 60°. Logo, 120° é congruente a 60°.

Ex³.: 225° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 225° pertence ao 3° quadrante ( 180° < 225° < 270°), então usa-se a expressão 270° - 225° = 45°. Logo, 225° é congruente a 45°.

Ex.: 330° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 330° pertence ao 3° quadrante ( 270° < 330° < 360°), então usa-se a expressão 360° - 330° = 30°. Logo, 330° é congruente a 30°.

• Se o ângulo x é do 2° quadrante, usa-se a expressão 180° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
• Se o ângulo x é do 3° quadrante, usa-se a expressão 270° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
• Se o ângulo x é do 4° quadrante, usa-se a expressão 360° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;

Dessa forma, considerando B a medida de um arco, a expressão geral das medidas dos arcos côngruos a ele é dada por: x + k . 360° (em graus), em que x é a medida do arco côngruo do 1° quadrante e k é o número de voltas.

MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

Medir um arco (ou ângulo) é compará-lo com outro, unitário.

• GRAU
  • Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.
• RADIANOS
  • O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.
    
    

Como converter um arco de graus para radianos?

Para fazer a conversão de graus para radianos, ou vice-versa, é bem simples, basta usar uma regra de três simples.

Ex.: Transformar 210° em radianos.

Logo, para fazer a conversão de graus para radianos, basta usar: x = (o ângulo vezes π) dividido por 180°.

Se for fazer a transformação de radianos para grau, faz a conta ao contrário:

Ex.: