CICLO TRIGONOMÉTRICO

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Chamamos de ciclo trigonométrico toda circunferência orientada, em que:

• o centro é a origem do plano cartesiano;
• o raio (r) é unitário (r = 1);
• o sentido positivo é o anti-horário;

Localização da extremidade de um arco no ciclo trigonométrico

Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual contido em um quadrante.

Obs.: O ângulo x pertence ao 1º quadrante se, e somente se, 0° < x < 90°

         O ângulo x pertence ao 2° quadrante se, e somente se, 90° < x < 180°

         O ângulo x pertence ao 3° quadrante se, e somente se, 180° < x < 270°

         O ângulo x pertence ao 4° quadrante se, e somente se, 270° < x < 360°

Obs ².: Mas o ângulo pode ser maior que 360°. Nesse caso, como descobrir em qual quadrante ele está?

ex.: Um arco de 480° tem mais que uma volta, pois 480° > 360°. Vamos, então, calcular quantos graus ele tem a menos que 360°.

480° - 360° = 120°

Como 90° < 120° < 180°, um arco de 480° tem a mesma extremidade de um arco de 120°, que pertence ao 2° quadrante.

Outra forma mais simples de obtermos esse resultado é dividir 480° por 360° para extrair o número de voltas. O resto da divisão é a medida do arco de mesma extremidade:

480 : 360 = 1 -> 1 . 360 = 360 -> 480 - 360 = 120

ex².: Vamos determinar em qual quadrante está o arco de 1280°.

1280 : 360 = 3 e o resto é 200

Foram dadas 3 voltas e sobraram 200°. Como 180° < 200° < 270°. Logo, 1280° pertence ao 3º quadrante.

Arcos côngruos

Dois arcos são congruentes ou côngruos, quando possuem a mesma extremidade. Deve-se levar como padrão, os arcos do 1° quadrante.

Ex.: 120° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 120° pertence ao 2° quadrante ( 90° < 120° < 180°), então usa-se a expressão 180° - 120° = 60°. Logo, 120° é congruente a 60°.

Ex³.: 225° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 225° pertence ao 3° quadrante ( 180° < 225° < 270°), então usa-se a expressão 270° - 225° = 45°. Logo, 225° é congruente a 45°.

Ex.: 330° é congruente a qual arco do 1° quadrante?

Como 330° pertence ao 3° quadrante ( 270° < 330° < 360°), então usa-se a expressão 360° - 330° = 30°. Logo, 330° é congruente a 30°.

• Se o ângulo x é do 2° quadrante, usa-se a expressão 180° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
• Se o ângulo x é do 3° quadrante, usa-se a expressão 270° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
• Se o ângulo x é do 4° quadrante, usa-se a expressão 360° - x = ao arco côngruo que está no 1° quadrante;

Dessa forma, considerando B a medida de um arco, a expressão geral das medidas dos arcos côngruos a ele é dada por: x + k . 360° (em graus), em que x é a medida do arco côngruo do 1° quadrante e k é o número de voltas.

MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

Medir um arco (ou ângulo) é compará-lo com outro, unitário.

• GRAU
  • Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.
• RADIANOS
  • O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.
    
    

Como converter um arco de graus para radianos?

Para fazer a conversão de graus para radianos, ou vice-versa, é bem simples, basta usar uma regra de três simples.

Ex.: Transformar 210° em radianos.

Logo, para fazer a conversão de graus para radianos, basta usar: x = (o ângulo vezes π) dividido por 180°.

Se for fazer a transformação de radianos para grau, faz a conta ao contrário:

Ex.: 

Dica para o 1º Ano do Ensino Médio

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. Introdução

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.

Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.

Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que éconjunto, o que é elemento e o que é pertinência.

2. Notação e Representação

A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.

A. Listagem dos Elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.

Exemplos

1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B. Uma Propriedade de seus elementos

A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.

A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos

1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

C. Diagrama de Euler-Ven

A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo

3. Relação de Pertinência

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que o símbolo  é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos:

Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:

4. Relação de Inclusão Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:

Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

             

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.

Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.

Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:

{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto

A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2}  A.

Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

5. Conjuntos Especiais

Embora conjunto nos ofereça a ideia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.

Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.

Exemplos

1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}

2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}

3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}

Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.

Exemplos

1º) Conjunto das raízes reais da equação:

x² + 1 = 0

2º) Conjunto: 

O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas:  ou { } ( é uma letra de origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {}, pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o  .

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

Demonstração

Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.

6. Conjunto Universo

Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.

Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.

Exemplos

1º) A equação 2x³ – 5x² – 4x + 3 = 0 apresenta:

7. Conjunto de Partes

Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

A. Determinação do Conjunto de partes

Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:

1º) Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.

3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.

4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}

B. Número de Elementos do conjunto de partes

Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A). Para isso, basta partirmos da ideia de que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos:

Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.

8. Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Observação

Se o conjunto A está contido em B (A  B) e B está contido em A (B  A), podemos afirmar que A = B.